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# 2016.09.06 : Question6_b

gefragt 2017-08-22 18:19:12 +0200

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aktualisiert 2017-08-22 18:19:12 +0200

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How the red signed part (in the picture) has been inferred? In the alt solution part : if 'a' hold in initial states, how can we solve it?

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geantwortet 2017-08-22 21:06:56 +0200

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Well, a simple answer to the question on the alternative solution: if a would hold on all initial states, then K $\models$ a ∨ A$\varphi$ would simply hold, since all initial states will satisfy "a", and thus also a ∨ A$\varphi$.

About the equivalence in the first part: That is difficult to explain in one step. It roughly goes through the following equivalences:

  • K $\models A{\cal A}_\forall(Q,\varphi_I,\varphi_R,\varphi_F)$
  • K,s $\models A{\cal A}_\forall(Q,\varphi_I,\varphi_R,\varphi_F)$ for all initial states s
  • K,$\pi,0\models {\cal A}_\forall(Q,\varphi_I,\varphi_R,\varphi_F)$ for all initial paths $\pi$
  • K,$\pi,0\models \neg{\cal A}_\exists(Q,\varphi_I,\varphi_R,\neg\varphi_F)$ for all initial paths $\pi$

Now, K,$\pi,0\models {\cal A}_\exists(Q,\varphi_I,\varphi_R,\neg\varphi_F)$ holds, if and only if the path $\pi$ is accepted by the $\omega$-automaton encoded by ${\cal A}_\exists(Q,\varphi_I,\varphi_R,\neg\varphi_F)$. This is the case if and only if the product structure of K and the automaton (or more precise with its associated Kripke structure) will have a path $\xi$ that satisfies $\varphi_I\wedge\neg\varphi_F$. Note that the paths in the product structure are composed of a path of the original structure K and also of a run through the automaton.

  • $K_\times,\xi,0\models \neg(\varphi_I\wedge\neg\varphi_F)$ for all paths $\xi$ that contain some initial paths of K
  • $K_\times,\xi,0\models \varphi_I\to\varphi_F$ for all paths $\xi$ that contain some initial paths of K
  • $K_\times\models A(\varphi_I\to\varphi_F)$
  • $K_\times\models\varphi_I\to A(\varphi_F)$

The last step holds since $\varphi_I$ is a propositional formula. These explanations just sketch a real proof, they are a bit unsound here and there, but I hope one can follow the general lines of the explanation.

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